Torus (matematyka)

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Torus

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Torus (matematyka)

Torus (łac. armila) - dwuwymiarowy torus (oznaczany często $T 2$ ) to dwuwymiarowa powierzchnia geometryczna leżąca w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół osi (dookoła prostej) leżącej w tej samej płaszczyźnie co ten okrąg, i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów).

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

[edytuj] Wzory

Jeśli okrąg ten ma promień r, a odległość prostej od jego środka wynosi R, to pole powierzchni S torusa wynosi $S = 4π 2 r R$ , a objętość $V = 2π 2 R r 2$ . Równanie torusa ma postać: $\left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2+z^2 = r^2$ .

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnienie definicji torusa może polegać na rozważeniu płaszczyzny i utożsamieniu punktów odległych w pewnym kierunku o odległość X, zaś w innym niezależnym kierunku o Y, gdzie X i Y są ustalonymi liczbami. Utożsamienie takie przeprowadza płaszczyznę w tzw. kratę. Jest to przykład odwzorowania, które przeprowadza płaszczyznę w torus, i które łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary (utożsamienie punktów odległych w trzech różnych kierunkach o X, Y, Z odpowiednio itd. dla większej liczby wymiarów).

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

[edytuj] Parametryzacja torusa

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $x z$ o środku w punkcie $\left(R, 0, 0\right)$ , $R > 0$ i promieniu $r > 0$ . Wówczas jego parametryzacja przedstwaia się następująco:

$\alpha\left(u\right)=\left(R+r\cos u, 0, r\sin u\right)$

Obróćmy ten okrąg wokół okręgu o promieniu $R > 0$ , gdzie $R > r$ w płaszczyźnie prostopadłej o kąt $v$ wokół osi $z$ (środek mniejszego okręgu leży na dużym okręgu). W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

$U_{v}=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ .

Zatem

$x\left(u, v\right)=U_{v}\cdot\alpha^{T}\left(u\right)=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos u\\ 0\\ r\sin u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos u\right)\cos v\\ \left(R+r\cos u\right)\sin v\\ r\sin u\end{bmatrix}$ .

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

$x\left(u, v\right)=\left( \left(R+r\cos u\right)\cos v, \left(R+r\cos u\right)\sin v, r\sin u\right)$ .

[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $x\left(u, v\right)=\left( g\left(u\right), h\left(u\right)\cos v, h\left(u\right)\sin v\right)$ w punkcie $P=x\left(u, v\right)$ można wyznaczyć ze wzoru