Krzywizna krzywej

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

$\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta S}=\frac{d\varphi}{dS}$

gdzie $\Delta\varphi$ jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a $Δ S$ długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę $κ$ w punkcie $P (x 0, y 0)$ są następujące:

Dla krzywej określonej funkcją $y = f (x)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa=\frac{y{ ''_0}}{{(1+{y'_0}^2)^{3/2}}}$

Dla krzywej określonej parametrycznie $x = p (t), y = q (t)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa=\frac{y{''_0}{x'_0}-{x''_0}{y'_0}}{({x'_0}^2+{y'_0}^2)^{3/2}}$

Dla krzywej określonej funkcją $r = f(\varphi)$ w układzie biegunowym:

$\kappa=\frac{{r_0}^2 + 2{r'_0}^2 - {r_0}{r''_0}}{({r_0}^2 + {r'_0}^2)^{3/2}}$

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy bezwzględną wartość odwrotności jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

$\delta = \left| \frac{1}{\kappa} \right|$

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie $P (x 0, y 0)$ nazywamy punkt $S (ξ,η)$ , leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

Dla krzywej o równaniu $y = f (x)$ :

$\xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{1}+ {{y'_0}^2}}{y''_0}, \eta = {y_0} + \frac{{1}+{y'_0}^2}{y''_0}$

Dla krzywej o równaniach $x = p (t), y = q (t)$ :

$\xi = {x_0}-{y'_0}\frac{{x'_0}^2 + {y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}, \eta = {y_0}+{x'_0}\frac{{x'_0}^2+{y'_0}^2}{{y''_0}{x'_0}-{y'_0}{x''_0}}$

[edytuj] Zobacz też:

Menu
- Home
- O nas

kraj Napoleona