Kąt między dwiema krzywymi

Kątem przecięcia się wykresów dwóch krzywych ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta możemy obliczyć ze wzoru:

\operatorname{tg}\varphi = \left|{f'(x_0) - g'(x_0)\over{1 + f'(x_0) g'(x_0)}}\right|    dla    1 + f'(x_0) g'(x_0) \ne 0

Jeżeli

1 + f'(x_0) g'(x_0) = 0 \implies \varphi = 90^\circ

[edytuj] Wyprowadzenie wzoru

Mamy dane 2 dowolne funkcje f(x) oraz g(x) przecinające się w punkcie x0 oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x0 przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenie stycznej do f(x) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g(x) nazwiemy α.

Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym

\alpha + (\pi-\beta) + \varphi = \pi

stąd mamy,że

\varphi = \beta - \alpha

więc

\operatorname{tg}\varphi = \operatorname{tg}(\beta - \alpha)

Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:

\operatorname{tg}\varphi=\left|{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha\over{1+\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\alpha}}\right|

Wiemy również, że

\operatorname{tg}\beta=f'(x_0) oraz \operatorname{tg}\alpha=g'(x_0)

Podstawiając do wzoru otrzymujemy

\operatorname{tg}\varphi = \left|{f'(x_0) - g'(x_0)\over{1 + f'(x_0) g'(x_0)}}\right|

[edytuj] Zobacz też

 

odzież ochronna, Wakacje nad morzem, Bukmacherzy, Szklarska, tłumacz