Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ to zbiór wszystkich par uporządkowanych $(a, b)$ , takich, że $a$ należy do zbioru $A$ , zaś $b$ należy do zbioru $B$ . Zbiór ten oznacza się symbolem $A\times B$ . Formalnie:

$X \times Y = \left\{ (x,y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))\colon x \in X \wedge y \in Y \right\}$ ,

gdzie $\mathcal{P}(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $X$ .

Każdy podzbiór $R$ iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ i $Y$ można utożsamić z pewną relacją binarną. Zamiast pisać $(x,y)\in R$ , piszemy często $x R y$ .

W naturalny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów: $A \times B \times C$ jako $A \times (B \times C)$ , $A \times B \times C \times D$ jako $A \times (B \times (C \times D))$ i tak dalej. Na przykład iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie w rezultacie zbiorem wszystkich trójek uporządkowanych $a, b, c$ , takich, że $a$ należy do $A$ , $b$ należy do $B$ , i $c$ należy do $C$ .

Można rozpatrywać też tak zwany uogólniony iloczyn kartezjański (produkt kartezjański lub po prostu produkt), czyli iloczyn kartezjański rodziny zbiorów. Jeśli nasza rodzina jest postaci $\{A_t\}_{t \in T}$ , gdzie $T$ jest pewnym zbiorem indeksów (na przykład, zbiorem liczb naturalnych lub liczb rzeczywistych), to iloczynem kartezjańskim tej rodziny nazywamy zbiór wszystkich funkcji

$f\colon T \to \bigcup_{t \in T} A_t$

takich, że $f(t) \in A_t$ dla każdego $t\in T$ . Uogólniony iloczyn kartezjański jest oznaczany

$\prod_{t \in T} A_t$ lub $\underset{t \in T}{P} A_t$ .

Nazwa iloczyn kartezjański pochodzi od nazwiska Kartezjusza, francuskiego filozofa i matematyka, który wprowadził to pojęcie w kontekście geometrii analitycznej.

[edytuj] Przykład

Niech dane będą zbiory $A = {1,2,3}$ oraz $B = {a, b}$ . Iloczyn kartezjański jest zatem równy: $A\times B = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$ .

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
produkt (teoria kategorii) - uogólnienie iloczynu kartezjańskiego,
topologia Tichonowa,
twierdzenie o mnożeniu.

Menu
- Home
- O nas

kraj Napoleona