Funkcja różniczkowalna

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny.

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

[edytuj] Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Jeżeli funkcja f ma pochodną g w zbiorze A oraz funkcja g ma pochodną h w zbiorze $B \subset A$ to powiemy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze B, oraz druga pochodna funkcji f na tym zbiorze to h. Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji f.

[edytuj] Funkcja klasy Cⁿ

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f ⁽ⁿ⁾ jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcję f nazywamy funkcją klasy Cⁿ( (a,b) ). Przez funkcję klasy C ⁰ rozumiemy funkcję ciągłą.

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem wymagamy, by badane funkcje spełniały dodatkowe warunki, np. by były różniczkowalne w sposób ciągły.

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Ważną klasę funkcji stanowi $C^{\infty}$ (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę $C^\infty$ nazywamy też klasą funkcji gładkich.

[edytuj] Przykłady

Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus, cosinus i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy $C^{\infty}(\mathbb{R})$
funkcja f(x)=|x| jest klasy $C^{0}(\mathbb{R})$ ale nie $C^{1}(\mathbb{R})$
funkcja dana wzorem: