kraj Napoleona

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

[edytuj] Definicja

Niech oraz niech X będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie .

Punktem początkowym drogi jest f(0), a końcowym f(1). Często mówi się o „drodze z x do y”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w nazywa się drogę z x do x. Równoważnie można określić ją jako drogę taką, że α(0) = α(1) lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli . Ostatnia równoważność wynika z tego, że może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa I z utożsamionymi punktami 0 i 1.

Zbiór pętli w X zaczepionych w a nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem Ω(X).

[edytuj] Łukowa spójność

Przestrzeń topologiczna, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca nazywa się łukowo spójną. Każda przestrzeń X może zostać rozbita na zbiór łukowo spójnych składowych, który oznaczany jest często π₀(X).

[edytuj] Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem X, który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania f(x) = x oraz g(x) = x² będące dwiema różnymi drogami z 0 do 1 na prostej rzeczywistej.

[edytuj] Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech (X,a) będzie taką przestrzenią, drogą w (X,a) nazywa się te drogi w X, których punktem początkowym jest a. Analogicznie pętlą w (X,a) nazywa się pętle zaczepione w a.

[edytuj] Homotopia

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy I) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

[edytuj] Drogi

Homotopią dróg z a do b w X nazywamy rodzinę dróg taką, że

• f_t(0) = a i f_t(1) = b są stałe,
• odwzorowanie dane wzorem F(s,t) = f_t(s) jest ciągłe.

[edytuj] Pętle

Homotopią pętli nazywamy homotopię łączącą α oraz β spełniającą warunek H(0,t) = H(1,t) = a dla .

Dla powyższej homotopii każda droga α_t(s) = H(s,t) jest pętlą w X zaczepioną w a. Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia a nie ulegał przesunięciu.

[edytuj] Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w Ω(X) i pętli w Ω(X,a) są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi f tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często [f].

[edytuj] Składanie

Załóżmy, że f jest drogą z x do y, zaś g z y do z. Złożeniem dróg f i g nazywamy drogę zdefiniowaną jako uprzednie przejście po f, a następnie po g:

.

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w a, to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. .

[edytuj] Grupa podstawowa

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie a strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną π₁(X,a).

[edytuj] Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• homotopia,
• grupa podstawowa
• Krzywa.